双曲线 $C: \dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的焦距为 $2 \sqrt{7}$，点 $A(0,-2)$ 在 $C$ 上，直线 $l: y=\dfrac{6}{7}$ 交 $y$ 轴于点 $P$，过 $P$ 作直线 $G H$ 交 $C$ 于 $G, H$ 两点，且 $G H$ 的斜率存在，直线 $A G,A H$ 交 $l$ 分别于 $M, N$ 两点．
1、求 $C$ 的方程；
2、求 $A G$ 与 $A H$ 的斜率之积；
3、证明：$A, O, M, N$ 共圆．
解析
1、根据题意，有\[\begin{cases} 2\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt 7,\\ b=2,\end{cases}\implies \begin{cases} a^2=4,\\ b^2=3,\end{cases}\]于是 $C$ 的方程为 $\dfrac{y^2}4-\dfrac{x^2}3=1$．
2、平移坐标系至以 $A$ 为原点．
新坐标系下 过点 $P$ 的方程设为 $mx+\dfrac{7}{20}y=1$，与双曲线方程\[\dfrac{(y-2)^2}{4}-\dfrac{x^2}3=1\iff \dfrac{y^2}{4}-\dfrac{x^2}3-y=0\]化齐次联立，可得\[\dfrac{y^2}4-\dfrac{x^2}3-y\left(mx+\dfrac{7}{20}y\right)=0\iff -\dfrac{1}{10}y^2-mxy-\dfrac{x^2}3=0,\]根据韦达定理，直线 $AG$ 与 $AH$ 的斜率之积为 $\dfrac{10}3$．
3、根据第 $(2)$ 小题的结论，设直线 $AG,AH$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，则 $k_1k_2=\dfrac{10}3$，回到原坐标系，有\[ \begin{cases} AM:y=k_1x-2,\\ AN:y=k_2x-2,\\ MN:y=\frac 67,\end{cases}\]得到过 $A,M,N$ 的二次曲线系\[(k_1x-y-2)(k_2x-y-2)+\lambda (k_1x-y-2)\left(y-\frac 67\right)+\mu (k_2x-y-2)\left(y-\frac 67\right)=0,\]考虑 $xy$ 项系数为 $0$，$x^2,y^2$ 项前系数相等，有\[\begin{cases} k_1k_2=1-\lambda-\mu,\\ -k_1-k_2+\lambda k_1+\mu k_2=0,\end{cases}\]此时常数项为\[4+\dfrac{12}7(\lambda+\mu)=4+\dfrac{12}7(1-k_1k_2)=0,\]因此 $\triangle AMN$ 的外接圆过原点 $O$，命题得证．