已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的一个顶点为 $A(2,0)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$．直线 $y=k(x-1)$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M,N$，过点 $M$ 作斜率为 $1$ 的直线 $x=t$ 于点 $P$．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、设直线 $P N$ 的斜率为 $k_1$，直线 $P A$ 的斜率为 $k_2$，是否存在实数 $t$，使得 $4 k_2-3 k_1$ 为定值？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，说明理由．
解析
1、根据题意，有\[\begin{cases} a=2,\\ \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{\sqrt 2}2,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2=4,\\ b^2=2,\end{cases}\]因此所求椭圆方程 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$．
2、存在实数 $t=4$ 符合题意，证明如下．
记 $B(1,0)$，当 $t=4$ 时，$x=t$ 是点 $B$ 对应的极线，设 $Q$ 为直线 $l$ 与直线 $x=t$ 的交点，则 $[M,N;B,Q]$，因此 $PM,PN,PQ,PB$ 是调和线束，斜率分别为 $1,k_1,\infty,\dfrac 23k_2$，于是\[\left(1+\frac{1}{k_1}\right)\left(0+\frac{3}{2k_2}\right)=2\left(\frac{1}{k_1}+0\cdot \frac{3}{2k_2}\right)\iff 3(k_1+1)=4k_2\iff 4k_2-3k_1=3,\]符合题意．
设 $P(4,m)$，则 $PM:x-y+m-4=0$，$PQ:x-4=0$，记 $PM:f(x,y)=0$，$M=\dfrac{N+\lambda B}{1+\lambda}$，则\[g(M)=g\left(\dfrac{N+\lambda B}{1+\lambda}\right)\implies \lambda=-\dfrac{2g(BN)}{g(B)},\]从而\[f(M)=f\left(\dfrac{N+\lambda B}{1+\lambda }\right)\implies g(B)f(N)-2f(B)g(BN)=0,\]又\[g(B)f(P)-2f(B)g(BP)=0,\]于是\[PN:g(B)f(x,y)-2f(B)g_B(x,y)=0,\]即\[PN:\left(\dfrac 14-1\right)(x-y+m-4)-2(m-3)\left(\dfrac x4-1\right)=0,\]因此 $3k_1=2m-3$，而 $4k_2=2m$，因此 $4k_2-3k_1$ 为定值 $3$．