已知 $a,b,c\geqslant 0$，且 $a+b+c=1$，则 $(c-a)(c-b)$ 的取值范围是_____．
答案 $\left[-\dfrac 18,1\right]$．
解析 即 $a+b=1-c$，求 $m=c^2-(1-c)c+ab$ 的取值范围，其中 $c\in [0,1]$，而\[0\leqslant ab\leqslant \left(\dfrac{a+b}2\right)^2=\dfrac 14(1-c)^2,\]因此\[c^2-(1-c)c\leqslant m\leqslant c^2-(1-c)c+\dfrac 14(1-c)^2,\]左侧取等条件 $(a,b)=(0,1-c),(1-c,0)$，右侧取等条件为 $(a,b)=\left(\dfrac{1-c}2,\dfrac{1-c}2\right)$，于是\[-\dfrac 18\leqslant c(2c-1)\leqslant m\leqslant \left(\dfrac{3c-1}2\right)^2\leqslant 1,\]等号分别当 $c=\dfrac 14$ 和 $c=1$ 时取得，因此所求取值范围是 $\left[-\dfrac 18,1\right]$．