来自 73Dsi 的趣题．
小明在篮球场上练习投篮，旁边有一群绝对理性的囚犯在围观．如果小明连续投中三球，囚犯们就会说小明是“强的”；如果小明连续投空三球，囚犯们就会说小明是“菜的”；如果小明连续四次投球情况恰好为“空中中空”，囚犯们就会说小明是“搞笑的”．不管囚犯们做出“强的”“菜的”“搞笑的”中的哪种评判后，他们都会立刻一拥而上把小明的球抢走．现在已知小明的投球命中率为 $\dfrac 23$，且每次投球相互独立，求他被评判为“搞笑的”的概率．
答案 $\dfrac{16}{81}$．
解析 记投中为 $A$，未投中为 $B$，设以下不同状态 $i$ 出现吸收态 $BAAB$ 的概率分别为 $x_i$，则所求为 $x_0$．\[ \begin{array}{c|c|c|c|c}\hline \text{状态编号}&\text{状态}&A&B&\text{状态转移方程}\\ \hline 0&&A&B&x_0=\frac 23x_1+\frac 13x_2\\ \hline 1&A&AA&A,B&x_1=\frac 23x_3+\frac 13x_2\\ \hline 2&B&BA&BB&x_2=\frac 23x_4+\frac13x_5\\ \hline 3&AA&\boxed{AAA}_0&AA,B&x_3=\frac 13x_2\\ \hline 4&BA&BAA&BA,B&x_4=\frac 23x_6+\frac 13x_2\\ \hline 5&BB&B,BA&\boxed{BBB}_0&x_5=\frac 23x_4\\ \hline 6&BAA&B\boxed{AAA}_0&\boxed{BAAB}_1&x_6=\frac 13\\ \hline\end{array}\] 解得\[(x_0,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=\left(\dfrac{16}{81},\dfrac{80}{513},\dfrac{16}{57},\dfrac{16}{171},\dfrac{6}{19},\dfrac4{19},\dfrac 13\right).\]
计算“强的”： \[ \begin{array}{c|c|c|c|c}\hline \text{状态编号}&\text{状态}&A&B&\text{状态转移方程}\\ \hline 0&&A&B&x_0=\frac 23x_1+\frac 13x_2\\ \hline 1&A&AA&A,B&x_1=\frac 23x_3+\frac 13x_2\\ \hline 2&B&BA&BB&x_2=\frac 23x_4+\frac13x_5\\ \hline 3&AA&\boxed{AAA}_1&AA,B&x_3=\frac23+\frac 13x_2\\ \hline 4&BA&BAA&BA,B&x_4=\frac 23x_6+\frac 13x_2\\ \hline 5&BB&B,BA&\boxed{BBB}_0&x_5=\frac 23x_4\\ \hline 6&BAA&B\boxed{AAA}_1&\boxed{BAAB}_0&x_6=\frac 23\\ \hline\end{array}\]结果为\[ (x_0,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=\left(\dfrac{56}{81},\dfrac{388}{513},\dfrac{32}{57},\dfrac{146}{171},\dfrac{12}{19},\dfrac8{19},\dfrac 23\right).\] 计算“菜的”： \[ \begin{array}{c|c|c|c|c}\hline \text{状态编号}&\text{状态}&A&B&\text{状态转移方程}\\ \hline 0&&A&B&x_0=\frac 23x_1+\frac 13x_2\\ \hline 1&A&AA&A,B&x_1=\frac 23x_3+\frac 13x_2\\ \hline 2&B&BA&BB&x_2=\frac 23x_4+\frac13x_5\\ \hline 3&AA&\boxed{AAA}_0&AA,B&x_3=\frac 13x_2\\ \hline 4&BA&BAA&BA,B&x_4=\frac 23x_6+\frac 13x_2\\ \hline 5&BB&B,BA&\boxed{BBB}_1&x_5=\frac 23x_4+\frac13\\ \hline 6&BAA&B\boxed{AAA}_0&\boxed{BAAB}_0&x_6=0\\ \hline\end{array}\]结果为\[ (x_0,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)=\left(\dfrac 19,\dfrac5{57},\dfrac3{19},\dfrac1{19},\dfrac1{19},\dfrac7{19},0\right).\]