已知正实数 $a,b$ 满足 $a+2b=2$，则 $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{16}{b^2}$ 的最小值是_____．
答案 $\dfrac{125}4$．
解析 齐次化，有\[\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{16}{b^2}=\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{16}{b^2}\right)\cdot \left(\dfrac{a+2b}2\right)^2=\left(\dfrac{4a^2}{b^2}+ \dfrac{b^2}{a^2} \right)+ \left(\dfrac{16a}{b} + \dfrac{b}{a} \right) + \dfrac{65}{4},\]无法直接用均值不等式处理（等号无法同时取得），设 $t=\dfrac ba$，则所求代数式\[t^2+t+\dfrac {16}t+\dfrac{4}{t^2}+\dfrac{65}4=m\cdot \dfrac{t^2}m+n\cdot \dfrac tn+(2m+n-2)\cdot \dfrac {16}{(2m+n-2)t}+\dfrac{4}{t^2}+\dfrac{65}4,\]取等条件为\[\dfrac{t^2}m=\dfrac tn=\dfrac {16}{(2m+n-2)t}=\dfrac4{t^2},\]解得 $(m,n,t)=(4,2,2)$，从而所求最小值为 $\big(m+n+(2m+n-2)+1\big)\cdot 1+\dfrac{65}4=\dfrac{125}4$．
利用导数\[\left(t^2+t+\dfrac {16}t+\dfrac{4}{t^2}+\dfrac{65}4\right)'=\dfrac{(2t+1)(t-2)(t^2+2t+4)}{t^3},\]可得当 $t=2$ 时代数式取得最小值 $\dfrac{125}4$．