已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=0$，对任意不小于 $2$ 的正整数 $n$ 均有 $a_n-a_{n-1}\in\{1,2\}$，若存在正整数 $k\in [1,9]$，使得对所有数列 $\{a_n\}$ 均满足\[a_1+a_2+\cdots+a_k\leqslant a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{10},\]则 $k$ 的最大值为_____．
答案 $6$．
解析 条件给出了 $\{a_n\}$ 的差分数列，因此将问题转化为差分数列．设 $x_1=a_1=0$，$x_n=a_n-a_{n-1}$（$n\geqslant 2$），则 $\displaystyle a_n=\sum\limits_{i=1}^nx_i$，于是 $\{a_n\}$ 的前 $t$ 项和为\[\sum_{j=1}^{t}a_j=\sum_{j=1}^{t}\sum_{i=1}^jx_i=\sum_{i=1}^t\sum_{j=i}^tx_i=\sum_{i=1}^t(t-i+1)x_i,\]题中不等式即\[2\sum_{j=1}^ka_j\leqslant \sum_{j=1}^{10}a_j\iff 2\sum_{i=1}^k(k-i+1)x_i\leqslant \sum_{i=1}^{10}(11-i)x_i,\]也即\[\sum_{i=1}^k(2(k-i+1)-(11-i))x_i\leqslant \sum_{i=k+1}^{10}(11-i)x_i\iff \sum_{i=1}^k(2k-i-9)x_i\leqslant \sum_{i=k+1}^{10}(11-i)x_i,\]该不等式对任意 $\{x_n\}$ 成立，只需要考虑 $k\geqslant 5$ 的情形，于是题意即\[ \sum_{i=1}^k(2k-i-9)\cdot 2\leqslant \sum_{i=k+1}^{10}(11-i)\cdot 1\iff \sum_{i=1}^k(4k-3i-7)\leqslant \sum_{i=1}^{10}(11-i),\]也即\[4k^2-\dfrac 32k^2-\dfrac{17}2k\leqslant 55\iff 5k^2-17k\leqslant 110,\]解得 $k\leqslant 6$，于是 $k$ 的最大值为 $6$．
若将条件改为 $a_n-a_{n-1}\in\{1,2,\cdots,p\}$（$p\in\mathbb N^{\ast}$），且 $a_1+a_2+\cdots+a_k\leqslant a_{k+1}+a_{k+2}+\cdots+a_{m}$，则对 $k$ 的限制为\[(3p-1)k^2-(2mp-2m-p-1)k\leqslant m^2+m.\]