当 $x<0$ 时，求证：$x+\mathrm e^x-2\cos x<0$．
解析 只需要证明当 $x>0$ 时，有\[-x+\dfrac{1}{\mathrm e^x}-2\cos x<0\iff \mathrm e^x\cdot (2\cos x+x)>1,\]设左侧函数为 $f(x)$，则其导函数\[f'(x)=\mathrm e^x(2\cos x+x-2\sin x+1),\]当 $x\geqslant \dfrac{3\pi}4$ 时，有\[2\cos x+x-2\sin x+1\geqslant 1+\dfrac{3\pi}4-2\sqrt 2>0,\]当 $0<x<\dfrac{3\pi}4$ 时，设 $g(x)=2\cos x+x-2\sin x+1$，则其导函数\[g'(x)=-2\sin x-2\cos x+1,\]于是在 $x=m$ 处取得极小值也为最小值 $r$，其中\[2\sin m+2\cos m=1,\quad r=2\cos m+m-2\sin m+1=-\sqrt 7+1+m,\]而 $m>\dfrac{7\pi}{12}>\sqrt 7-1$，因此函数 $f(x)$ 在 $x>0$ 时单调递增，于是 $f(x)>f(0)=2$，命题得证．