已知函数 $f(x)=\sin ^n x+\cos ^n x$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$）．
1、当 $n=4$ 时，判别 $f(x)$ 的奇偶性；
2、当 $n$ 为偶数时，方程 $f(x)=\dfrac{1}{2025}$ 有解，求 $n$ 的最小值：
3、若存在 $n$，使得关于 $x$ 的不等式 $f(x)+a(\sin x+\cos x)-a \geqslant 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．
解析
1、偶函数；
2、设 $n=2k$，则函数 $f(x)$ 的最小值即代数式 $\left(\frac 12+t\right)^k+\left(\frac 12-t\right)^k$ 的最小值，由二项式定理展开可得 $t=0$ 时取得最小值为 $\dfrac1{2}{2^{k-1}}$，进而可得 $k$ 的最小值为 $12$，$n$ 的最小值为 $24$．
3、必要条件探路 考虑 $x=\dfrac{\pi}4,\dfrac{3\pi}4$ 时不等式成立，有\[ \begin{cases} 2\left(\frac{\sqrt 2}2\right)^n+(\sqrt 2-1)a\geqslant 0,\\ 2\left(-\frac{\sqrt 2}2\right)^n-(\sqrt 2+1)a\geqslant 0,\end{cases},\]当 $n=1$ 时，$a$ 的可行域为 $\left[-2-\sqrt 2,\sqrt 2-2\right]$；当 $n=2$ 时，$a$ 的可行域为 $\left[-\sqrt 2-1,\sqrt 2-1\right]$；当 $n$ 取更大的值时可行域不再扩充，考虑证明 $a$ 的取值范围是 $\left[-2-\sqrt 2,\sqrt 2-1\right]$．
验证充分性
情形一 $a\in[-\sqrt 2-1,\sqrt 2-1]$．此时取 $n=2$，题中不等式即\[a(\sin x+\cos x-1)+1\geqslant 0,\]而 $\sin x+\cos x-1$ 的取值范围是 $\left[-\sqrt 2-1,\sqrt 2-1\right]$，因此该不等式恒成立，符合题意．
情形二 $a\in[-2-\sqrt 2,-\sqrt 2-1)$．此时取 $n=1$，题中不等式即\[(a+1)(\sin x+\cos x)-a\geqslant 0,\]注意到 $a+1<0$，于是不等式左侧代数式的最小值为\[(a+1)\cdot \sqrt 2-a=(\sqrt 2-1)a+\sqrt 2\geqslant 0,\]符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left[-2-\sqrt 2,\sqrt 2-1\right]$．