已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2}=1$，$ M(-2,0)$，$ N(2,0)$．过点 $P\left(x_0, y_0\right)$（$P$ 在椭圆 $C$ 第一象限内）的直线 $P M$ 交椭圆 $C$ 于另一点 $A$，直线 $P N$ 交椭圆 $C$ 于另一点 $B$．设 $S_1$ 为 $\triangle P M B$ 的面积，$S_2$ 为 $\triangle P A N$ 的面积，则 $S_1-S_2$ 的最大值为_____．
答案 $\dfrac 83$．
解析 设 $P(x_0,y_0),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则直线 $PA$ 过 $M$，直线 $PB$ 过 $N$，即\[\begin{cases} \dfrac{x_0+2}{x_1+2}=\dfrac{y_0}{y_1}=-\dfrac{-\frac{x_0}4-1}{-\frac{x_1}4-1},\\ \dfrac{x_0-2}{x_2-2}=\dfrac{y_0}{y_2}=-\dfrac{\frac{x_0}4-1}{\frac{x_2}4-1},\end{cases}\implies \begin{cases} y_1=\frac{-y_0}{x_0+3},\\ y_2=\frac{y_0}{x_0-3},\end{cases} \]因此\[S_1-S_2=2|y_1-y_2|=\left|\dfrac{4x_0y_0}{9-x_0^2}\right|=\left|\dfrac{4x_0y_0}{9\left(\frac{x^2}8+\frac{y^2}{2}\right)-{x_0^2}}\right|=\dfrac{4}{\left|\frac1{8}\cdot\frac{x_0}{y_0}+\frac 92\cdot \frac{y_0}{x_0}\right|}\leqslant\dfrac 83,\]等号当 $x_0=6y_0$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac 83$．