已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，圆 $F_1:(x+1)^2+y^2=16$，过 $F_1$ 的直线分别交椭圆、圆于 $x$ 轴上方的点 $P,R$，直线 $PF_2$ 交椭圆于不同于 $P$ 的点 $Q$，若 $\triangle F_2PR$ 的面积与 $\triangle QF_1F_2$ 的面积之比为 $\dfrac 35$，则点 $P$ 的坐标为_____．
答案 $\left(1,\dfrac 32\right)$．
解析 设 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$，则\[ \dfrac 35=\dfrac{[\triangle F_2PR]}{[\triangle F_1F_2Q]}=\dfrac{[\triangle F_2PR]}{[\triangle F_1F_2P]}\cdot \dfrac{[\triangle F_1F_2P]}{[\triangle F_1F_2Q]}=\dfrac{|PR|}{|PF_1|}\cdot \dfrac{|PF_2|}{|QF_2|}=\dfrac{|PF_2|}{|PF_1|}\cdot \dfrac{|PF_2|}{|QF_2|},\]根据焦半径公式和极线比例式可得\[\dfrac{|PF_2|}{|PF_1|}=\dfrac{2-\frac 12x_1}{2+\frac 12x_1},\quad \dfrac{|PF_2|}{|QF_2|}=-\dfrac{y_1}{y_2}=-\dfrac{x_1-1}{x_2-1}=\dfrac{x_1-4}{x_2-4}=\dfrac{(x_1-1)+(x_1-4)}{-(x_2-1)+(x_2-4)}=\dfrac{2x_1-5}{-3},\]进而\[\dfrac{2-\frac 12x_1}{2+\frac 12x_1}\cdot \dfrac{2x_1-5}{-3}=\dfrac 35\iff x_1=1,\]因此点 $P$ 的坐标为 $\left(1,\dfrac 32\right)$．