已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，圆 $F$ 的半径 $r=1$，过 $F$ 的直线与抛物线及圆分别交于 $A,B$ 和 $C,D$（顺次为 $A,C,D,B$）．
1、求证：$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}$ 为定值；
2、设 $O$ 为坐标原点，$\triangle OAC$ 与 $\triangle OBD$ 的面积之比为 $4$，求 $|AB|$．
解析
1、定值 $1$．
设 $A(4a^2,4a),B(4b^2,4b)$，则\[ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DB}=|AC|\cdot |DB|=(|AF|-1)\cdot (|BF|-1)=4a^2\cdot 4b^2,\]根据抛物线的几何平均性质，有 $4ab=-1$，于是 $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}$ 为定值 $1$．
2、$\dfrac 92$．
根据题意，有 $|AC|=4|BD|$，由第 $(1)$ 小题的结论，可得 $|AC|=2$，$|BD|=\dfrac 12$，于是\[|AB|=|AC|+|BD|+2=\dfrac 92.\]