每日一题[4022]代数变形

已知实数 $a, b$ 满足 $3^a+5^b=9^a+25^b$，则 $27^a+125^b$ 的最大值为_____．

答案    $2$．

解析    等价问题    设 $(3^a,5^b)=(x,y)$，则 $x+y=x^2+y^2$，所求为代数式为 $x^3+y^3$ 的最大值．

化齐次    根据题意，所求代数式\[m=\dfrac{(x^3+y^3)(x+y)^3}{(x^2+y^2)^3}=\dfrac{x^6+y^6+3xy(x^4+y^4)+3x^2y^2(x^2+y^2)+2x^3y^3}{x^6+y^6+3x^2y^2(x^2+y^2)},\]而\[3xy(x^4+y^4)+2x^3y^3\leqslant x^6+y^6+3x^2y^2(x^2+y^2)\impliedby (x-y)^4(x^2+xy+y^2)\geqslant 0,\]因此 $m$ 的最大值为 $2$，当 $x=y$ 时取得．

差量换元    根据题意，设 $(x,y)=(m+n,m-n)$，则有\[x+y=(x+y)^2-2xy\iff m=m^2+n^2,\]于是\[x^3+y^3=2m^3+6mn^2=2m^3+6m(m-m^2)=2m^2(3-2m)\leqslant 2,\]等号当 $m=1$ 时取得，因此所求最大值为 $2$．

备注    考虑 $x^4+y^4$，此时设 $x+y=s$，$xy=t$，则 $t=\dfrac{s^2-s}2$，$s\in [0,2]$，进而\[x^4+y^4=\dfrac 12(-s^4+2s^3+s^2),\]利用导数可得当 $s=\dfrac{3+\sqrt{17}}4$ 时取得等号，最大值为 $\dfrac{17s+5}{16}=\dfrac{71+17\sqrt{17}}{64}=2.2045\cdots$．