每日一题[4017]交点直线系

已知椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）左、右顶点与上顶点分别为 $A, B, C$，离心率 $e$ 为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$ \triangle A B C$ 的面积为 $2$．

1、求椭圆 $E$ 的标准方程；

2、点 $D$ 为第一象限 $E$ 上不同于顶点的动点，直线 $B D$ 与直线 $A C$ 交于点 $M$，直线 $C D$ 与 $x$ 轴交于点 $N$．证明：直线 $M N$ 过定点．

解析

1、根据题意，有\[\begin{cases}\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 3}2,\\ \dfrac 12\cdot 2a\cdot b=2,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2=4,\\ b^2=1,\end{cases}\]于是椭圆 $E$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$．

2、根据题意，有 $A(-2,0),B(2,0),C(0,1)$，设 $D(x_0,y_0)$，则\[ AC:x-2y+2=0,\quad BD:(x-x_0)y=(x-2)(y-y_0),\quad N\left(\dfrac{x_0}{1-y_0},0\right),\]直线 $MN$ 过直线 $AC,BD$ 的交点，于是设其方程为\[(x-x_0)y-(x-2)(y-y_0)+t(x-2y+2)=0,\]点 $N$ 的坐标满足该方程，因此\[y_0\left(\dfrac{x_0}{1-y_0}-2\right)+t\left(\dfrac{x_0}{1-y_0}+2\right)=0,\]而\[\dfrac{x_0^2}{4}+y_0^2=1\implies -2y_0^2=\dfrac{x_0^2}2-2,\]于是\[t=-\dfrac{y_0(x_0+2y_0-2)}{x_0-2y_0+2}=\dfrac{-x_0y_0+\left(\frac{x_0^2}2-2\right)+2y_0}{x_0-2y_0+2}=\dfrac{x_0-2}2,\]于是\[MN:(x-x_0)y-(x-2)(y-y_0)+\dfrac{x_0-2}2(x-2y+2)=0,\]该直线过定点 $(2,1)$．