每日一题[4010]双曲线的焦半径公式

已知双曲线 $E: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）与平行于 $x$ 轴的动直线交于 $A, B$ 两点，点 $A$ 在点 $B$ 左侧，$F$ 为双曲线 $E$ 的左焦点，延长 $B F$ 至点 $C$，使 $|A F|=|F C|$，连接 $A C$ 交 $x$ 轴于点 $D$，若 $|F C|=3|F D|$，则该双曲线的离心率为（          ）

A．$\sqrt{2}$

B．$\sqrt{3}$

C．$2$

D．$3$

答案    $3$．

解析    设 $A(-x_0,y_0),B(x_0,y_0)$，双曲线的离心率为 $e$，则根据双曲线的焦半径公式，有\[|AF|=ex_0-a,\quad |BF|=ex_0+a,\]则由于 $FD\parallel AB$，可得\[\dfrac{|FC|}{|FD|}=\dfrac{|BC|}{|AB|}\implies 3=\dfrac{|BF|+|FC|}{|AB|}=\dfrac{|BF|+|AF|}{|AB|}=\dfrac{(ex_0+a)+(ex_0-a)}{2x_0}=e.\]