每日一题[52] 透过现象看本质

（2015年北京市海淀区高三期末理科）如图所示，在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，点$E$是边$BC$的中点．点$P$在直线$BD_1$（除$B$、$D_1$两点）上运动的过程中，平面$DEP$可能经过的该正方体的顶点是_______．（写出满足条件的所有顶点） 正确的答案是$A_1,B_1,D$．

当然，将正方体的顶点逐一代入验证是得到答案的简捷方法．但我们今天的问题是，确定平面$DEP$可能经过的该正方体表面的所有的点．

先将问题从正方体中抽离出来，也即三角形$ABC$中，$AB$为固定的线段，$C$在与直线$AB$异面的直线$l$上运动，那么三角形$ABC$所在平面扫过的空间区域是什么样子的？

 如图，不难想象，三角形$ABC$所在平面扫过的空间区域是过直线$AB$且与直线$l$平行的平面将空间划分成的两侧区域中的两侧．

回到本问题，我们只需要过$DE$作平面$\alpha$，那么正方体的表面上除去平面$\alpha$，平面$DED_1$和平面$DEB$上的点即为所求的所有点，如图所示．