如图，已知双曲线 $E: x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$ 的左、右顶点分别为 $C,D$，右焦点为 $F$，过 $F$ 的直线交 $E$ 于 $A,B$ 两点，直线 $A D,B C$ 交于点 $M$，设点 $M$ 轨迹为 $l$．
1、求 $l$ 的方程； 直线 $A B$ 交 $l$ 于点 $N$，过点 $F$ 作 $A C$ 的平行线 $l^{\prime}$ 交直线 $N C$ 于点 $P$，证明：$\triangle P C F$ 为等腰三角形；
2、在第 $(2)$ 小题的基础上，设直线 $B C$ 与直线 $l^{\prime}$ 交于点 $Q$，设 $\triangle P C F,\triangle A C F$ 的面积分别为 $S_1, S_2$．
① 证明：$\angle Q C F=\angle Q C P$；
② 求 $\frac{1}{S_1^2}+\frac{1}{S_2^2}$ 的最小值．
解析
1、根据题意，有 $C(-1,0),D(1,0),F(2,0)$，设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),M(x_3,y_3)$，且 $\overrightarrow{FA}=\lambda\overrightarrow{FB}$，则\[\lambda=\dfrac{x_1-2}{x_2-2}=\dfrac{y_1}{y_2}=-\dfrac{2x_1-1}{2x_2-1},\quad \dfrac{y_1}{y_3}=\dfrac{x_1-1}{x_3-1},\quad \dfrac{y_2}{y_3}=\dfrac{x_2+1}{x_3+1},\]于是\[\dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{\frac13(x_1-2)+\frac 13(2x_1-1)}{\frac13(x_2-2)-\frac 13(2x_2-1)}=\dfrac{x_1-1}{-\frac 13x_2-\frac13}=\dfrac{x_1-1}{x_2+1}\cdot (-3),\]因此\[\dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{x_1-1}{x_2+1}\cdot \dfrac{x_3+1}{x_3-1}\implies x_3=\frac 12,\]从而 $l$ 的方程为 $x=\dfrac 12$．
2、设直线 $B C$ 与直线 $l^{\prime}$ 交于点 $Q$．由于 $[A,B;N,F]$，于是 $(CA,CB;CN,CF)$，被直线 $FP$ 截得 $[\infty,Q;P,F]$，所以点 $Q$ 平分 $PF$． 另一方面，有\[\dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{-(x_1-2)+(2x_1-1)}{-(x_2-2)-(2x_2-1)}=\dfrac{x_1+1}{-3(x_2-1)},\]于是\[\dfrac{y_1}{x_1+1}\cdot \dfrac{y_2}{x_2+1}=\dfrac{y_1}{x_1+1}\cdot \dfrac{3(x_2-1)}{y_2}=-1,\]从而 $AC\perp CB$，进而 $PF\perp CQ$．
综上所述，$\triangle PCF$ 为等腰三角形．
3、① 由第 $(2)$ 小题，等腰三角形 $PCF$ 中三线合一即得；
② 设 $\angle QCF=\angle QCP=\theta$，则由于 $MN$ 平分 $CF$，于是 $\triangle NCF$ 是等腰三角形，且 $\angle AFC=2\theta$，于是\[S_1=|QF|\cdot |QC|=\sin\theta\cos\theta\cdot |CF|^2=\dfrac92\sin(2\theta),\]根据双曲线的焦半径公式，有\[S_2=\dfrac 12\cdot |CF|\cdot |AF|\cdot \sin(2\theta)=\dfrac{9\sin(2\theta)}{4\cos(2\theta)-2},\]因此\[\dfrac{1}{S_1^2}+\dfrac{1}{S_2^2}=\dfrac{4+(4\cos(2\theta)-2)^2}{81\sin^2(2\theta)}=\dfrac{8}{81}\cdot \dfrac{2t^2-2t+1}{1-t^2},\]其中 $t=\cos(2\theta)$，令\[\dfrac{2t^2-2t+1}{1-t^2}=u\iff (2+u)t^2-2t+(1-u)=0,\]由 $\Delta\geqslant 0$，可得 $u$ 的最小值为 $\dfrac{\sqrt 5-1}2$，因此所求最小值为 $\dfrac{4(\sqrt 5-1)}{81}$．