每日一题[168] 解三角形

2013年高考浙江理科数学第10题（选择压轴题）：

在空间中，过点\(A\)作平面\(\pi\)的垂线，垂足为\(B\)，记\(B=f_{\pi}(A)\)，设\(\alpha\)，\(\beta\)是两个不同的平面，对空间任意一点\(P\)，\(Q_1=f_{\beta}\left[f_{\alpha}(P)\right]\)，\(Q_2=f_{\alpha}\left[f_{\beta}(P)\right]\)，恒有\(PQ_1=PQ_2\)，则（        ）

A．平面\(\alpha\)与平面\(\beta\)垂直

B．平面\(\alpha\)与平面\(\beta\)所成的（锐）二面角为\(45^\circ\)

C．平面\(\alpha\)与平面\(\beta\)平行

D．平面\(\alpha\)与平面\(\beta\)所成的（锐）二面角为\(60^\circ\)

正确答案是A．

将\(P\)取在平面\(\alpha\)内即得，接下来我们证明这个结论．

如图，只需要在过\(P\)且与直线\(\alpha \cap\beta\)垂直的截面内思考问题．设\(\angle PO\alpha =x\)，\(\angle PO\beta=y\)，\(OP=1\)，则\[\begin{split}PM=\sin x,\\MQ_1=\cos x\sin (x+y),\end{split}\]于是在\(\triangle PMQ_1\)中应用余弦定理，有\[PQ_1^2=\sin^2x+\left(\cos x\sin (x+y)\right)^2-2\sin x\cos x\sin (x+y)\cos (x+y),\]类似的，可得\[PQ_2^2=\sin^2y+\left(\cos y\sin (x+y)\right)^2-2\sin y\cos y\sin (x+y)\cos (x+y),\]因此\[\sin^2x-\sin^2y+\left(\cos^2x-\cos^2y\right)\sin^2(x+y)-\left(\sin 2x-\sin 2y\right)\sin (x+y)\cos (x+y)=0,\]即\[\left(\sin^2x-\sin^2y\right)\cos^2 (x+y)=0,\]于是可得\(x+y=\dfrac{\pi}2\)，因此\(\alpha \perp \beta\)．