一个游戏 $\rm UP$ 池中有 $n$ 张不同的角色卡，每次抽奖独立地从中抽取 $1$ 张（有放回的抽取），第一次获取角色卡后得到该角色，之后再获得该角色将得到星辉（可用于兑换抽卡资源，但不影响抽卡次数）．
1、求经过 $k$ 抽后，获取的不同角色个数的数学期望；
2、求获取卡池中所有角色需要抽数的数学期望．
解析
1、$k$ 次抽取获取任何一个特定的角色的概率是\[1-\left(1-\dfrac 1n\right)^k,\]于是所求数学期望是 $n\left(1-\left(1-\frac 1n\right)^k\right)$．
2、在已经获取 $k$（$k=0,1,\cdots,n-1$）个角色的情况下，每次抽取获得新角色的概率为 $\dfrac{n-k}{n}$，因此获取新角色的抽数期望是 $\dfrac{n}{n-k}$，因此所求总抽数的数学期望 $^{[1]}$ 是\[\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{n}{n-k}=\sum_{k=1}^n\dfrac{n}{k}=n\sum_{k=1}^n\dfrac 1k.\]
备注 $[1]$ 当 $n$ 很大时，该期望近似为 $n(\ln n+\gamma)$，其中 $\gamma=0.577\cdots$ 为欧拉常数．当 $n=54$（一副扑克牌）时，结果约为 $ 246.57$；当 $n=108$（一百零八将）时，结果约为 $ 568.01$．