已知函数 $f(x)=3\sqrt 5\sin \omega x+3\sqrt{15}\cos\omega x$（$\omega >0$）恰有两个对称中心在区间 $\left[\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}2\right]$ 上，且 $f\left(\dfrac{\pi}6\right)=f\left(\dfrac{\pi}2\right)$，则 $\omega$ 的所有可能的取值之和是（ ）
A．$6$
B．$\dfrac{21}2$
C．$\dfrac{23}2$
D．$16$
答案 D．
解析 根据题意，有 $f(x)=6\sqrt 5\sin\left(\omega x+\dfrac{\pi}3\right)$，由 $f\left(\dfrac{\pi}6\right)=f\left(\dfrac{\pi}2\right)$ 可得\[\left(\dfrac{\omega \pi}2+\dfrac{\pi}3\right)-\left(\dfrac{\omega \pi}6+\dfrac{\pi}3\right)=2k\pi,~\text{或}~\left(\dfrac{\omega \pi}2+\dfrac{\pi}3\right)+\left(\dfrac{\omega \pi}6+\dfrac{\pi}3\right)=2k\pi+\pi,\quad k\in\mathbb Z,\]即 $\omega=6k,3k+\dfrac 12$（$k\in\mathbb Z$）．区间 $\left[\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}2\right]$ 上包含 $2$ 个对称中心，可知函数 $f(x)$ 的周期 $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ 满足\[\dfrac T2\leqslant\dfrac{\pi}2-\dfrac{\pi}6<\dfrac{3T}2\iff 3\leqslant\omega<9,\]于是 $\omega=\dfrac 72,6,\dfrac{13}2$． 经验证，上述三个取值均满足要求，因此 $\omega$ 的所有可能的取值之和是 $\dfrac 72+6+\dfrac{13}2=16$．