已知点 $B(-2,-1)$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$ 内一点，过点 $A(-8,0)$ 作直线 $l$ 与椭圆交于 $P, Q$ 两点，直线 $P B$ 与椭圆交于另一点 $N$，证明：直线 $Q N$ 过定点．
答案 过定点$(-2,-9)$．
解析 设 $T(4,0)$，建立双斜率直线方程\[m(x-4)-\dfrac 34(x+4)=ny,\]其中 $m$ 为斜率之积，$n$ 为斜率之和．设直线 $TP,TQ,TR$ 的斜率分别为 $k_1,k_2,k_3$，则\[\begin{cases} A\in PQ,\\ B\in PN,\end{cases}\iff \begin{cases} k_1k_2(-8-4)-\frac 34(-8+4)=(k_1+k_2)\cdot 0,\\ k_1k_3(-2-4)-\frac 34(-2+4)=(k_1+k_3)\cdot (-1),\end{cases}\]整理可得\[\begin{cases} k_1k_2=\frac 14,\\ (k_1+k_3)-6k_1k_3=\frac 32,\end{cases}\implies k_2k_3+\frac 14=\frac 32(k_2+k_3),\]对比可得\[(x-4):\left(-\frac 34(x+4)\right):y=1:\frac 14:\frac 32,\]解得直线 $QN$ 过定点 $(-2,-9)$．