2025年11月浙江杭州市一模数学试卷 #11
已知函数 $y=f(n)$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）的函数值等于 $n$ 的正因数的个数．例如 $f(1)=1,f(4)=3$．则下列选项正确的是（ ）
A．$f(6)=4$
B．$f(2025)=20$
C．$\displaystyle\sum_{k=1}^{2025}\dfrac 1{f\left(6^k\right)}<1$
D．设 $b_n=(\sqrt 2)^n$，则 $\displaystyle\sum_{k=1}^{2025}\dfrac{(-1)^{f(k+1)}}{b_{2 k-1}b_{2 k}}\leqslant\dfrac{5\sqrt 2}{16}$
答案 ACD．
解析 由于 $6=2\cdot 3$，$2025=3^4\cdot 5^2$，于是 $f(6)=2$，$f(2025)=(4+1)(2+1)=15$，选项 $\boxed{A}$ 正确，选项 $\boxed{B}$ 错误；
而 $6^k=2^k\cdot 3^k$，于是 $f(6^k)=(k+1)^2$，于是\[ \sum_{k=1}^{2025}\dfrac{1}{f(6^k)}=\sum_{k=1}^{2025}\dfrac{1}{(k+1)^2}<\sum_{k=1}^{2025}\left(\dfrac 1k-\dfrac1{k+1}\right)=1-\dfrac{1}{2026}<1,\]选项 $\boxed{C}$ 正确；
对于选项 $\boxed{D}$，其中不等式即\[ \sum_{k=1}^{2025}\dfrac{(-1)^{f(k+1)}}{\left(\sqrt 2\right)^{4k-1}}\leqslant \dfrac{5\sqrt 2}{16}\iff \sum_{k=1}^{2025}\dfrac{(-1)^{f(k+1)}}{4^k}\leqslant \dfrac 5{16},\]而\[LHS< \sum_{k=1}^{2025}\dfrac{1}{4^k}-2\sum_{k+1~\text{是平方数}}\dfrac{1}{4^k}+<\dfrac{\frac 14}{1-\frac 14}-2\dfrac{1}{4^3}=\dfrac {29}{96}<\dfrac{30}{96}=\dfrac 5{16},\]选项 $\boxed{D}$ 正确．
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．