2025年广东深圳中学高一数学期中考试 #19
已知有限集 $A=\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right\}$（$n \geqslant 2$，$ n \in \mathbb N$），如果 $A$ 中的元素 $a_{i}$（$i=1,2, \cdots, n$）满足 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=a_{1} \cdot a_{2} \cdots a_{n}$，就称 $A$ 为完美集．
1、判断集合 $\left\{-1-\sqrt{3},-1+\sqrt{3}\right\}$ 是否是完美集并说明理由；
2、$a_{1} , a_{2}$ 是两个不同的正数，且 $\left\{a_{1}, a_{2}\right\}$ 是完美集，求证：$a_{1} , a_{2}$ 至少有一个大于 $2$；
3、若 $a_i$（$i=1,2,\cdots,n$）为正整数，求完美集 $A$．
解析
1、根据题意，有\[\left(-1-\sqrt 3\right)+\left(-1+\sqrt 3\right)=-2=\left(-1-\sqrt 3\right)\cdot \left(-1+\sqrt 3\right),\]因此集合 $\left\{-1-\sqrt{3},-1+\sqrt{3}\right\}$ 是完美集．
2、不妨设 $a_1>a_2$，根据完美集的定义，有\[a_1a_2=a_1+a_2\implies (a_1-1)(a_2-1)=1,\]由于 $a_1,a_2$ 均为正数，因此 $a_1-1,a_2-1\in (-1,+\infty)$，进而可得\[0<a_2-1<1<a_1-1,\]于是 $a_1>2$，命题得证．
3、不妨设 $a_1<a_2<\cdots<a_n$，则 $a_k\geqslant k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）．
情形一 若 $n\geqslant 4$，则\[ a_1a_2a_3\cdots a_n \geqslant 1\cdot 2\cdot 3\cdot (n-1)\cdot a_n>2(n-1)\cdot a_n>n\cdot a_n>a_1+a_2+\cdots+a_n,\]矛盾．
情形二 当 $n=3$ 时，有\[a_1a_2a_3=a_1+a_2+a_3<3a_3\implies a_1a_2<3\implies (a_1,a_2)=(1,2),\]进而可得 $a_3=3$，此时完美集 $A=\{1,2,3\}$．
情形三 当 $n=2$ 时，有\[a_1a_2=a_1+a_2\implies (a_1-1)(a_2-1)=1\implies (a_1-1,a_2-1)=(1,1),\]矛盾．
综上所述，完美集 $A=\{1,2,3\}$．