2025年四川南充市高考一诊数学试卷 #19
已知实数 $a>0$，函数 $f(x)=\ln (1+a x)-\dfrac{2 x}{x+2}$．
1、当 $a=\dfrac 1 2$ 时，求 $f(x)$ 的极值；
2、讨论 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上的单调性；
3、设 $n\in\mathbb N^{\ast}$，证明：$\dfrac 2{2^2+3}+\dfrac 2{2^3+3}+\cdots+\dfrac 2{2^{n+1}+3}\leqslant\dfrac 2 7+\ln\dfrac{3\cdot 2^{n-1}}{2^n+1}$．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{ax^2+4(a-1)}{(ax+1)(x+2)^2},\]当 $a=\dfrac 12$ 时，分子部分为 $\dfrac 12(x+2)(x-2)$，于是函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 处取得极小值 $f(2)=\ln 2-1$，没有极大值．
2、根据第 $(1)$ 小题的结果，讨论分界点为 $a=1$．
情形一 $0<a<1$．此时 $f(x)$ 在 $\left(0,2\sqrt{\dfrac{1-a}{a}}\right)$ 上单调递减，在 $\left(2\sqrt{\dfrac{1-a}{a}},+\infty\right)$ 上单调递增．
情形二 $a\geqslant 1$．此时 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．
备注 如果题目不给定区间 $(0,+\infty)$ 而改为讨论在定义域上的单调性，则还需考虑\[\left(ax^2+4(a-1)\right)\big|_{x=-\frac 1a}=\dfrac{(2a-1)^2}{a},\]需要增加讨论分界点 $a=\dfrac 12$．
情形一 $0<a<\dfrac 12$．此时函数 $f(x)$ 在 $\left(-\dfrac 12,-2\sqrt{\dfrac{1-a}a}\right)$ 上单调递增，在 $\left(-2\sqrt{\dfrac{1-a}a},-2\right)$ 上单调递减，在 $\left(-2,2\sqrt{\dfrac{1-a}a}\right)$ 上单调递减，在 $\left(2\sqrt{\dfrac{1-a}a},+\infty\right)$ 上单调递增．
情形二 $a=\dfrac 12$．此时 $f(x)$ 在 $(-2,2)$ 上单调递减，在 $(2,+\infty)$ 上单调递增．
情形三 $\dfrac 12<a<1$．此时 $f(x)$ 在 $\left(-\dfrac 1a,-2\sqrt{\dfrac{1-a}a}\right)$ 上单调递增，在 $\left(-2\sqrt{\dfrac{1-a}a},2\sqrt{\dfrac{1-a}a}\right)$ 上单调递减，在 $\left(2\sqrt{\dfrac{1-a}a},+\infty\right)$ 上单调递增．
情形四 $a\geqslant 1$．此时 $f(x)$ 在 $\left(-\dfrac 1a,+\infty\right)$ 上单调递增．
3、当 $n=1$ 时不等式成立；分析通项，只需要证明当 $n\geqslant 2$ 时，有\[ \dfrac{2}{2^{n+1}+3}\leqslant \ln\dfrac{3\cdot 2^{n-1}}{2^n+1}-\ln\dfrac{3\cdot 2^{n-2}}{2^{n-1}+1},\]也即\[\dfrac{2}{2^{n+1}+3}\leqslant \ln\left(1+\dfrac{1}{2^n+1}\right),\]根据对数函数的进阶放缩，有\[\ln\left(1+\dfrac{1}{2^n+1}\right)>\dfrac{\frac{2}{2^n+1}}{\frac{1}{2^n+1}+2}=\dfrac{2}{2^{n+1}+3},\]命题得证．