2025年12月T8联考高三数学试卷 #8
已知函数 $f(x)=\begin{cases}\mathrm e^x(2 x-1),&x>0,\\k(x+1),&x<0,\end{cases}$ 且 $g(x)=f(x)+f(-x)$，若 $y=g(x)$ 恰有 $4$ 个零点，则实数 $k$ 的取值范围是（ ）
A．$(-\infty,1)$
B．$\left(4\mathrm e^{\frac 3 2},+\infty\right)$
C．$\left(1,4\mathrm e^{\frac 3 2}\right)$
D．$(1,+\infty)$
答案 B．
解析 函数 $g(x)$ 是偶函数，因此问题即函数 $g(x)$ 在 $x\in (0,+\infty)$ 上有 $2$ 个零点，此时\[g(x)=\mathrm e^x(2x-1)+k(-x+1),\]因此\[g(x)=0\iff k=\dfrac{2x-1}{x-1}\cdot \mathrm e^x,\]设右侧函数为 $h(x)$，则其导函数\[h'(x)=\dfrac{x(2x-3)}{(x-1)^2}\cdot \mathrm e^x,\]于是\[\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&0&&1&&\frac 32&&+\infty\\ \hline h(x)&1&\searrow&-\infty|+\infty&\searrow&4\mathrm e^{\frac 32}&\nearrow&+\infty\\ \hline \end{array}\] 因此所求实数 $k$ 的取值范围是 $\left(4\mathrm e^{\frac 32},+\infty\right)$．