2025年12月T8联考高三数学试卷 #10
已知函数 $ f(x)=\sin(\pi x)$，$ g(x)=x-\dfrac 1 x-\ln x$，$h(x)=f(x)\cdot g(x)$，则下列说法正确的是（ ）
A．$g\left(\dfrac 1 x\right)+g(x)=0$
B．不等式 $g(x)>0$ 的解集为 $(0,1)$
C．$h\left(\dfrac{16}3\right)<h\left(\dfrac 3{11}\right)$
D．$1$ 为函数 $h(x)$ 的极大值点
答案 ACD．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，有\[g\left(\dfrac 1x\right)=\dfrac 1x-x-\ln\dfrac 1x=-g(x),\]选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，函数 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x^2}>0,\]于是函数 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，而 $g(1)=0$，因此不等式 $g(x)>0$ 的解集为 $(1,+\infty)$，选项错误；
对于选项 $\boxed{C}$，根据题意，有\[h\left(\dfrac{16}3\right)=\sin\dfrac{16\pi}3\cdot g\left(\dfrac{16}3\right)=-\sin\dfrac{\pi}3\cdot g\left(\dfrac {16}3\right),\]而\[h\left(\dfrac{3}{11}\right)=\sin\dfrac{3\pi}{11}\cdot g\left(\dfrac{3}{11}\right)=-\sin\dfrac{3\pi}{11}\cdot g\left(\dfrac{11}3\right),\]而 $\sin\dfrac{\pi}3>\sin\dfrac{3\pi}{11}>0$，$g\left(\dfrac{16}3\right)>g\left(\dfrac{11}3\right)>0$，从而\[\sin\dfrac{\pi}3\cdot g\left(\dfrac {16}3\right)>\sin\dfrac{3\pi}{11}\cdot g\left(\dfrac{11}3\right)\iff h\left(\dfrac{16}3\right)<h\left(\dfrac{3}{11}\right),\]选项正确；
对于选项 $\boxed{D}$，函数 $h(x)$ 的导函数\[\begin{split} h'(x)&=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\\ &=\pi\cos(\pi x)\cdot \left(x-\dfrac 1x-\ln x\right)+\sin(\pi x)\cdot \dfrac{x^2-x+1}{x^2} ,\end{split}\]于是 $h'(1)=0$，又 $f(x)$ 在 $x=1$ 处左正右负，而 $g(x)$ 在 $x=1$ 处左负右正，因此 $h(x)$ 在 $x=1$ 左右两侧均负，从而 $x=1$ 为函数 $h(x)$ 的极大值点，选项正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．