2025年12月T8联考高三数学试卷 #11
已知正四棱锥 $P-ABCD$ 的底面边长为 $1$，高为 $h$，该正四棱锥的顶点 $P$ 在正方体 $ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的内部（包括表面），则下列结论正确的是（ ）
A．$h$ 的取值范围是 $(0,1]$
B．若正四棱锥 $P-ABCD$ 的侧棱长为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，则 $h=\dfrac{\sqrt 2}2$
C．当点 $P$ 为正方体 $ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的上底面 $A_1 B_1 C_1 D_1$ 的中心时，正四梭锥 $P-ABCD$ 外接球的表面积为 $\dfrac{9\pi}4$
D．当点 $P$ 为正方体 $ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的内切球球心时，正方体 $ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的内切球与正四棱锥 $P-ABCD$ 的公共部分的体积为 $\dfrac{\pi}{36}$
答案 ACD．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，设正方形 $ABCD,A_1B_1C_1D_1$ 的中心分别为 $O,O_1$，则点 $P$ 在线段 $OO_1$（不包含 $O$，包含 $O_1$）上，而 $h=|PO|$，取值范围是 $(0,1]$，选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，根据题意，正四棱锥 $P-ABCD$ 中有\[|PA|^2=|PO|^2+|OA|^2\iff |PA|^2=h^2+\dfrac12,\]选项错误；
对于选项 $\boxed{C}$，设外接球球心为 $O_0$，且 $\overline {OP}=h$，$\overline{OO_0}=x$，外接球半径为 $R$，则\[|O_0A|^2=|AO|^2+|OA|^2\iff R^2=(h-R)^2+\dfrac 12,\]解得 $R=\dfrac 34$，于是正四梭锥 $P-ABCD$ 外接球的表面积为 $4\pi R^2=\dfrac{9\pi}4$，选项正确；
对于选项 $\boxed{D}$，正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的内切球球心即其中心 $Q$，此时正方体可以看作是 $6$ 个全等的正四棱锥（分别以正方体的 $6$ 个底面为底面，$Q$ 为顶点）的组合体，因此所求公共部分的体积为内切球体积的 $\dfrac 16$，为 $\dfrac 16\cdot \left(\dfrac{4\pi}3\cdot \left(\dfrac 12\right)^3\right)=\dfrac{\pi}{36}$，选项正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．