已知 $g(x)=2+m\cos x+n\sin x+M\cos 2 x+N\sin 2 x$，其中 $m,n,M,N$ 为常数， 且 $g(x)\geqslant 0$ 对任意 $x\in\mathbb R$ 恒成立，则（ ）
A．$m^2+n^2\leqslant 8$
B．$M^2+N^2>4$
C．$|m|+|n|+|M|+|N|\leqslant 2\sqrt 2+4$
D．$g(x)\leqslant 6$
答案 ACD．
解析 根据题意，有\[g(x)=2+A\sin(x+\alpha)+B\sin(2x+\beta),\]其中 $A=\sqrt{m^2+n^2}$，$B=\sqrt{M^2+N^2}$，于是\[g(x)+g(x+\pi)=4+2B\sin(2x+\beta)\implies 4+2B\sin(2x+\beta)\geqslant 0\implies B\leqslant 2,\]而\[g(x)+g\left(x+\dfrac{\pi}2\right)=4+A\sin(x+\alpha)+A\cos(x+\alpha)\implies 4+\sqrt 2A\sin\left(x+\alpha+\dfrac{\pi}4\right)\geqslant 0\implies A\leqslant 2\sqrt 2,\]以及\[g(x)+g\left(x+\dfrac{2\pi}3\right)+g\left(x+\dfrac{4\pi}3\right)=6,\]于是选项 $\boxed{A}$ $\boxed{D}$ 正确，选项 $\boxed{B}$ 错误．
对于选项 $\boxed{C}$，有\[|m|+|n|+|M|+|N|\leqslant \sqrt 2 A+\sqrt 2B\leqslant 2\sqrt 2+4,\]选项正确．
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．
备注 事实上，
取 $g(x)=2+2\sin2x$，就得到了 $B=2$ 的例子；
取 $g(x)=2+2\sqrt 2\cos x+\cos2x$，就得到了 $A=2\sqrt 2$ 的例子； 取 $g(x)=2+\dfrac 83\cos x+\dfrac 43\cos 2x$，就得到了 $g(x)$ 的最大值为 $6$ 的例子；
而对于选项 $\boxed{C}$，取等条件下有\[g(x)=2+2\sqrt 2\sin (x+\varphi)+2\cos 2x=4\cos^2x+2\sqrt 2\sin(x+\varphi),\]于是 $g\left(\dfrac{\pi}2\right)+g\left(-\dfrac{\pi}2\right)=0$，此时 $g(x)=4\cos^2x\pm 2\sqrt 2\cos x$ 最小值为 $-\dfrac 18$，不符合题意，因此选项 $\boxed{C}$ 无法取等．
https://www.bilibili.com/video/BV1XDktBgExB/