每日一题[4018]化齐次联立

己知椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）经过点 $A(2,3)$，$F_1, F_2$ 分别为 $E$ 的左、右焦点，率心率 $e=\dfrac{1}{2}$．

1、求椭圆 $E$ 的方程；

2、求 $\angle F_1 A F_2$ 的角平分线所在直线 $l$ 的方程；

3、过点 $F_2$ 且斜率为 $k_1$ 的直线 $l_1$ 交椭圆 $E$ 于 $M, N$ 两点，记直线 $A M, A N$ 的斜率分别为 $k_2, k_3$，是否存在常数 $\lambda$，使得 $k_2+k_3-\lambda k_1$ 为定值？若存在，求出 $\lambda$ 及该定值；若不存在，请说明理由．

解析

1、根据题意，有\[\begin{cases} \frac{4}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1,\\ \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac 12,\end{cases}\iff \begin{cases} a^2=16,\\ b^2=12,\end{cases}\]于是椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$．

2、根据椭圆的光学性质，$\angle F_1AF_2$ 的角平分线是椭圆在点 $A$ 处切线的法线，于是方程为\[ \dfrac {2y}{16}-\dfrac{3x}{12}=\dfrac{2\cdot 3}{16}-\dfrac{3\cdot 2}{12},\]整理得 $2x-y-1=0$．

3、根据题意，有 $F_2(2,0)$，平移坐标系，使 $A$ 为坐标原点，$M,N,F_2$ 的对应点分别为 $M',N',F_2'$，则 $F_2'(0,-3)$，平移不改变直线斜率，于是\[M'N':y=k_1x-3 \iff \dfrac{kx_1-y}{3}=1,\]与椭圆方程 $\dfrac{(x+2)^2}{16}+\dfrac{(y+3)^2}{12}=1$ 即\[\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}+\left(\dfrac 14x+\dfrac 12y\right)=0,\]联立，可得\[\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}+\left(\dfrac 14x+\dfrac 12y\right)\left(\dfrac{k_1x-y}{3}\right)=0,\]即\[-\dfrac 1{12}y^2+\dfrac{2k_1-1}{12}xy+\left(\dfrac{1}{16}+\dfrac{k_1}{12}\right)x^2=0,\]因此\[k_2+k_3-\lambda k_1=(2k_1-1)-\lambda k_1=(2-\lambda)k_1-1,\]于是存在常数 $\lambda=2$ 符合题意，此时定值为 $-1$．