每日一题[4016]双曲函数

已知实数 $x,y$ 满足 $\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{y^2+4}-y\right)=2$，则 $4^x+2^{y-1}$ 的最小值为_____．

答案    $\sqrt 2$．

解析    根据题意，有 $^{[1][2]}$\[\sqrt{x^2+1}-x=\sqrt{\left(\frac y2\right)^2+1}+\frac y2\iff x+\dfrac y2=0,\]因此\[4^x+2^{y-1}=4^x+4^{\frac {y-1}2}\geqslant 2\sqrt{4^{x+\frac {y-1}2}}=\sqrt 2,\]等号当 $x=\dfrac {y-1}2$ 时取得，因此所求最小值为 $\sqrt 2$．

备注

$ [1] $ 若 $ a,b>0 $，$ \left(\sqrt{x^2+a^2}-x\right)\left(\sqrt{y^2+b^2}-y\right)=ab $，则\[\dfrac{\sqrt{x^2+a^2}-x}{a}=\dfrac{b}{\sqrt{y^2+b^2}-b}=\dfrac{\sqrt{y^2+b^2}+y}{b}\iff \sqrt{\left(\dfrac xa\right)^2+1}-\dfrac xa=\sqrt{\left(\dfrac yb\right)^2+1}+\dfrac yb,\]考虑到 $ f(t)=\sqrt{t^2+1}+t $ 是 $ t\in\mathbb R $ 上的单调递增函数，于是\[f\left(-\dfrac xa\right)=f\left(\dfrac yb\right)\iff -\dfrac xa=\dfrac yb\iff bx+ay=0.\]类似的，$ \left(\sqrt{x^2+a^2}+x\right)\left(\sqrt{y^2+b^2}+y\right)=ab $ 也等价于 $ bx+ay=0$．

$[2]$ 题中条件即\[\left(\sqrt{(-x)^2+1}+(-x)\right)\left(\sqrt{\left(-\frac y2\right)^2+1}+\left(-\frac y2\right)\right)=1,\]也即\[\sinh^{-1}(-x)+\sinh^{-1}\left(-\frac y2\right)=0\iff (-x)+\left(-\frac y2\right)=0.\]