2024年5月湖北省武汉市调研试卷#14
已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为 $1: 2$，其内切球的半径为 $1$，则该正四棱台的体积为_____．
答案 $\dfrac{28}3$．
解析 如图，作正四棱台的轴截面，$M,N,H$ 分别为内切球在上底面、下底面、侧面的切点．
设 $|AM|=x$，$|DN|=2x$，则该四棱台的体积为\[\dfrac {(2x)^2+(4x)^2+2x\cdot 4x}3\cdot 2=\dfrac {56x^2}3,\]在直角三角形 $AID$ 中，有\[|AD|^2=|IA|^2+|ID|^2=(1+x^2)+(1+4x^2)=2+5x^2,\]又\[|AD|^2=(|DN|-|AM|)^2+|MN|^2=x^2+4,\]于是可得 $x^2=\dfrac 12$，因此所求体积为 $\dfrac{28}3$．