每日一题[3465]穷举

2024年广东四校高三年级第一次联考#5

小明爬楼梯每一步走 $1$ 级台阶或 $2$ 级台阶是随机的，且走 $1$ 级台阶的概率为 $\dfrac 2 3$，走 $2$ 级台阶的概率为 $\dfrac 1 3$．小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第 $4$ 级台阶的条件下，他走了 $3$ 步的概率是（       ）

A．$\dfrac 4 9$

B．$\dfrac 4{27}$

C．$\dfrac 9{13}$

D．$\dfrac{36}{61}$

答案    D．

解析    列表如下：

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}\hline \text{步数/台阶级数}&1&2&3&4&5&6\\ \hline 1&\dfrac 23&\dfrac13&&&&\\ \hline 2&&\dfrac 49&\dfrac 49&\dfrac 19&&\\ \hline 3&&&\dfrac8{27}&\dfrac {12}{27}&\dfrac 6{27}&\cdots\\ \hline 4&&&&\dfrac{16}{81}&\dfrac{24}{81}&\cdots \\ \hline \end{array}$$ 因此所求概率为 $$\dfrac{\frac{12}{27}}{\frac 19+\frac{12}{27}+\frac{16}{81}}=\dfrac{36}{9+36+16}=\dfrac{36}{61}.$$