每日一题[3258]解三角方程

已知关于 $x$ 的方程 $\sin (a\cos x)=\cos (b\sin x)$ 没有实数解，则 $a^2+b^2$ 的取值范围是_____．

答案    $\left[0,\sqrt {a^2+b^2}\right]$．

解析    题中方程即

$$a\cos x=b\sin x+\dfrac{\pi}2+2k\pi,~\text{或}~a\cos x=\dfrac \pi 2-b\sin x+2k\pi,$$ 其中 $k\in\mathbb Z$，也即 $$a\cos x\pm b\sin x=\left(2k+\dfrac 12\right)\pi,\quad k\in\mathbb Z,$$ 从而 $$\sqrt{a^2+b^2}\leqslant \dfrac{\pi}2,$$ 因此 $a^2+b^2$ 的取值范围是 $\left[0,\sqrt {a^2+b^2}\right]$