每日一题[2810]函数勘探

等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，已知 $S_{10}=0$，$S_{15}=25$，则 $nS_{n}$ 的最小值为_______．

答案    $-49$．

解析    本题考查数列的单调性，可以借助均值不等式寻找最值的可能位置然后求解．

设 $S_n=An^2+Bn$，则

$$\begin{cases} S_{10}=0,\\ S_{15}=25,\end{cases}\iff \begin{cases} 100A+10B=0,\\ 225A+15B=25,\end{cases}\iff \begin{cases} A=\dfrac13,\\ B=-\dfrac{10}3.\end{cases}$$ 于是 $$nS_n=\dfrac{n^2(n-10)}3=-\dfrac{n\cdot n\cdot (20-2n)}6,$$ 根据均值不等式，$nS_n$ 在 $n=\dfrac{20}3$ 附近取得最小值，当 $n=6$ 时，$nS_n=-48$；当 $n=7$ 时，$nS_n=-49$，因此所求最小值为 $-49$．