每日一题[2042]消元策略

设 $\alpha,\beta$ 为锐角，且 $\cos(\alpha+\beta)=\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}$，则 $\tan\alpha$ 的最大值为_______．

答案    $\dfrac{\sqrt 2}4$．

解析    由 $\cos\left(\alpha+\beta\right)=\dfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}$ 得

$$\cos\alpha\cos\beta\sin\beta-\sin\alpha\sin^2\beta=\sin \alpha,$$ 所以 $$\cos \beta\sin \beta-\tan \alpha\sin^2\beta=\tan \alpha.$$ 因为 $\alpha,\beta$ 均为锐角，所以 $$\begin{split}\tan\alpha&=\dfrac{\cos\beta\sin\beta}{1+\sin^2\beta}\\&=\dfrac{\tan\beta }{1+2\tan^2\beta}\\&=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\tan\beta}+2\tan\beta}\\&\leqslant\dfrac{\sqrt{2}}{4} ,\end{split}$$ 当且仅当 $\tan\beta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 时取等号，所以 $\tan\alpha$ 的最大值是 $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$．