每日一题[1807]曲线救国

设数列 $\{a_n\}$ 为等差数列，数列 $\{b_n\}$ 满足：$b_1=a_1$，$b_2=a_2+a_3$，$b_3=a_4+a_5+a_6$，$\cdots$，若 $\lim\limits_{n\to \infty}{\dfrac{b_n}{n^3}}=2$，则数列 $\{a_n\}$ 的公差 $d$ 为（       ）

A．$\dfrac 12$

B．$1$

C．$2$

D．$4$

答案    D．

解析    设数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_n,T_n$，且 $S_n=an^2+bn$，则

$$T_n=S_{1+2+\cdots+n}=S_{\frac{n(n+1)}2}=\dfrac{an^2(n+1)^2}4+\dfrac{bn(n+1)}2,$$ 于是 $$b_n=T_n-T_{n-1}=an^3+bn,$$ 结合 $\lim\limits_{n\to \infty}{\dfrac{b_n}{n^3}}=2$ 可得 $a=2$，因此数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $4$．