每日一题[1557]截面分析

如图，球 $O$ 的内接八面体 $PABCDQ$ 中，顶点 $P,Q$ 分别在平面 $ABCD$ 两侧，且四棱锥 $P-ABCD$ 与 $Q-ABCD$ 都是正四棱锥．设二面角 $P-AB-Q$ 的平面角的大小为 $\theta$，则 $\tan \theta$ 的取值范围是_______．

答案       $\left(-\infty,-2\sqrt 2\right]$．

解析       如图，设 $PQ$ 与平面 $ABCD$ 交于点 $H$，$AB$ 的中点为 $M$，连接 $MH,MO$．

设 $\angle AOP=x$，则 $x\in (0,\pi)$，于是 $|OH|=\cos x$，$|MH|=\dfrac{\sin x}{\sqrt 2}$，进而

$$\tan\theta=\tan(\angle PMH+\angle QMH)=\dfrac{\dfrac{\sqrt 2(1-\cos x)}{\sin x}+\dfrac{\sqrt 2(1-\cos x)}{\sin x}}{1-\dfrac{\sqrt 2(1-\cos x)}{\sin x}\cdot \dfrac{\sqrt 2(1-\cos x)}{\sin x}}=-\dfrac{2\sqrt 2}{\sin x},$$ 因此所求取值范围是 $\left(-\infty,-2\sqrt 2\right]$．