如图，已知边长为\(1\)正三角形\(A'BC\)的顶点\(A'\)在平面\(\alpha\)内，顶点\(B\)、\(C\)在平面\(\alpha\)外的同一侧，点\(B'\)、\(C'\)分别为\(B\)、\(C\)在平面\(\alpha\)内的投影，设\(BB'\leqslant CC'\)，直线\(CB'\)与平面\(A'CC'\)所成的角为\(\varphi\)．若三角形\(A'B'C'\)是以角\(A'\)为直角的直角三角形，则\(\tan\varphi\)的范围为________．
正确答案是\(\left[\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 3}2\right)\)．
法一
如图建立空间直角坐标系，设\(B(0,b,m)\)，\(C(c,0,n)\)，则\[\begin{cases}b^2+m^2=c^2+n^2=1,\\(0,b,m)\cdot (c,0,n) =\dfrac 12,\\0<m\leqslant n,\end{cases}\]可得\(m\)的范围是\(\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt 2}2\right]\)，而\[\tan\varphi =b=\sqrt{1-m^2}\]的取值范围为\(\left[\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 3}2\right)\)．
法二
注意到\(\tan\varphi = \cos\angle BA'B'=\sin\angle BA'z\)．考虑\(\angle BA'z\)为直线\(BA'\)与平面\(ACC'\)所成的角，显然其上确界（无法取得）为\(60^\circ\)，此时\(\sin\angle BA'z=\dfrac{\sqrt 3}2\)；其最小值当\(BB'=CC'\)时取得，为\(45^\circ\)．因此所求的范围为\(\left[\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 3}2\right)\)．