每日一题[91] f(x1)=f(x2)的处理方法

已知函数\(f(x)=2x-\dfrac{x^2}{\pi}+\cos x\)．设\(x_1,x_2\in (0,\pi)\)，\(x_1\neq x_2\)且\(f(x_1)=f(x_2)\)．若\(x_1,x_0,x_2\)成等差数列，则（       ）

A．\(f'(x_0)<0\)

B．\(f'(x_0)=0\)

C．\(f'(x_0)>0\)

D．\(f'(x_0)\)的符号不确定

正确答案是A．

考虑到\[f'(x_0)=f'\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)=2-\dfrac{x_1+x_2}{\pi}-\sin\dfrac{x_1+x_2}{2},\]

而根据题意有\[2x_1-\dfrac{x_1^2}{\pi}+\cos x_1=2x_2-\dfrac{x_2^2}{\pi}+\cos x_2,\]于是\[\begin{split}2-\dfrac{x_1+x_2}{\pi}&=-\dfrac{\cos x_1-\cos x_2}{x_1-x_2}\\&=\dfrac{\sin\dfrac{x_1-x_2}2}{\dfrac{x_1-x_2}2}\cdot\sin\dfrac{x_1+x_2}{2}\\&<\sin\dfrac{x_1+x_2}{2},\end{split}\]

因此可得\(f'(x_0)<0\)，选A．最后附上该函数的图象．

2015年1月21日补充改编题：

已知$f(x)=x^2+ax+\sin\dfrac{\pi}2x$，$x\in (0,1)$．

(1)若$f(x)$在$(0,1)$上是单调递增函数，求$a$的取值范围．

(2)当$a=-2$时，$f(x)\geqslant f(x_0)$恒成立，$f(x_1)=f(x_2)$，求证：$x_1+x_2\geqslant 2x_0$．

答案    (1)$\left[-\dfrac{\pi}{2},+\infty\right)$；(2)略．

提示    (2)当$x_1=x_2$时，命题不难证明；当$x_1\neq x_2$时，由$f(x_1)=f(x_2)$可以整理得$$(x_1+x_2)-2+\dfrac{\pi}{2}\cos\dfrac{\pi(x_1+x_2)}4>0,$$进而可得$\dfrac{x_1+x_2}2>x_0$．