每日一题[713]三角恒等变形

锐角三角形$ABC$中，若$\sin A=2\sin B\sin C$，则

$$\tan A+2\tan B\tan C+\tan A\tan B\tan C$$ 的最小值为______．

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答案　$16$．

分析与解　根据题意，有$\sin (B+C)=2\sin B\sin C$，从而有

$$\tan B+\tan C=2\tan B\cdot \tan C.$$ 又因为在三角形中有 $$\tan A\tan B\tan C=\tan A+\tan B+\tan C,$$ 由$\tan (B+C)=-\tan A=\dfrac {\tan B+\tan C}{1-\tan B\tan C}$展开即可得到．所以 $$\begin{split} \tan A\tan B\tan C&=\tan A+\tan B+\tan C\\&=\tan A+2\tan B\tan C\\&\geqslant 2\sqrt{2\tan A\tan B\tan C},\end{split}$$ 当$\tan A=2\tan B\cdot\tan C$时等号成立．于是 $$\tan A\tan B\tan C\geqslant 8,$$ 从而 $$\tan A+2\tan B\tan C+\tan A\tan B\tan C=2\tan A\tan B\tan C\geqslant 16,$$ 等号当$\tan A=4$，$\tan B=2+\sqrt 2$，$\tan C=2-\sqrt 2$($B,C$可互换)时取得．

因此所求的最小值为$16$．