无穷等差数列\(\{a_n\}\)的各项均为整数，首项为\(a_1\)，公差为\(d\)，\(S_n\)是其前\(n\)项和，\(3\)，\(21\)，\(15\)是其中的三项，给出下列命题中，真命题有\((\qquad)\)
①对任意满足条件的\(d\)，存在\(a_1\)，使得\(99\)一定是数列\(\{a_n\}\)中的一项；
②对任意满足条件的\(d\)，存在\(a_1\)，使得\(30\)一定是数列\(\{a_n\}\)中的一项；
③存在满足条件的数列\(\{a_n\}\)，使得对任意的\(n\in\mathcal N^*\)，\(S_{2n}=4S_n\)成立．
A．①③
B．①②
C．②③
D．①②③
答案 A
分析 \(3\)，\(21\)，\(15\)是等差数列中的项，故它们的差$18,6$是$d$的整数倍，故$6$是\(d\)的整数倍．
命题①正确．因为\[99-21=78=6\times 13,\]而数列$\{a_n\}$为无穷数列，所以一定存在$a_1$，使得\(99\)一定是数列中的项；事实上，只有$d<0$时，才需要调整$a_1$，使得$a_1\geqslant 99$．
命题②错误．因为\[30-21=9,\]而\(9\)不能被\(6\)整除，所以$d=\pm 6$或$d=\pm 2$时，\(30\)都不是数列中的项．
命题③正确．因为$\{a_n\}$为等差数列，所以\(S_{2n}=4S_n\)即\[a_1\cdot 2n+\dfrac{2n(2n-1)}{2}\cdot d=4a_1n+2n(n-1)\cdot d,\]整理得\[d=2a_1.\]所以当$d$为偶数$\pm 2,\pm 6$时，存在$a_1=\dfrac d2$满足条件．