每日一题[413]双动点问题

已知抛物线 \(y^2=4x\) 的焦点为 \(F\)，点\(M(m,0)\)在\(x\)轴的正半轴上，且不与点\(F\)重合，动点\(A\)在抛物线上，且不过点\(O\)．若\(\angle FAM\)恒为锐角，则$m$的取值范围为_____．

正确答案是$(0,1)\cup (1,9)$．

解　这个问题中动点有两个：点$A$在抛物线上运动，点$M$在$x$轴正半轴上运动，运动过程中要求$\angle FAM$一直为锐角．

法一　设$A\left(\dfrac {a^2}{4},a\right )(a>0)$，$\angle FAM$恒为锐角只需要$$\overrightarrow {AF}\cdot\overrightarrow {AM}>0$$对$x$轴正半轴上的$M$恒成立，即$$\left(1-\dfrac {a^2}{4},-a\right )\cdot\left(m-\dfrac {a^2}{4},-a\right )>0,$$对$m>0$恒成立．化简有$$a^4+4(3-m)a^2+16m>0$$对$a>0$恒成立，即函数\(f(x)=x^2+4(3-m)x+16m\)没有正零点，注意到\(f(0)=16m>0\)，所以$$-2(3-m)\leqslant 0$$或$$\begin{cases}-2(3-m)>0,\\ \Delta<0,\end{cases}$$解得\(m<9\)，又\(m>0\)且\(m\ne 1\)，所以\[0<m<1\lor 1<m<9.\]我们先固定一个动点去考虑这个条件意味着什么？于是有下面的法二、法三（由meiyun提供）：

法二　让$M$点先固定，点$A$在抛物线上运动，且对线段$FM$的张角为锐角，这只需要点$A$在以线段\(MF\)为直径的圆外．故原题条件转化成抛物线与以$FM$为直径的圆没有公共点．

以\(MF\)为直径的圆的方程为\[\left(x-m\right)(x-1)+y^2=0.\]联立圆和抛物线的方程消去\(y\)得\[x^2+(3-m)x+m=0,\]此方程没有正实根，即函数\(f(x)=x^2+(3-m)x+m\)没有正零点，同法一得\[0<m<1\lor 1<m<9.\]

法三　我们也可以固定抛物线上一点$A\left(\dfrac {a^2}{4},a\right )(a>0)$，考虑对于不同的$a$，满足$\angle FAM$为锐角时$m$的取值集合，再求交集，于是考虑边界情况$\angle FAM=90^\circ$时$M$的位置，如下图：

对$a$进行讨论，当$a=2$时，$\angle FAM$恒为锐角；

当$a\ne 2$时，过点$A$，且垂直于$FA$的直线方程为$$y-a=-\dfrac {\frac{a^2}{4}-1}{a}\left(x-\dfrac {a^2}{4}\right ),$$令$y=0$得直线$MA$的横截距$$\begin{split} x_a&=\dfrac {4a^2}{a^2-4}+\dfrac {a^2}{4}\\&=5+\dfrac{16}{a^2-4}+\dfrac{a^2-4}{4},\end{split} $$当$a<2$时，$a^2-4\in (-4,0)$，此时$x_a<0$，结合图象知，此时对任意的$m>0$，都有$\angle FAM$为锐角；

当$a>2$时，$x_a\geqslant 9$，当且仅当$a^2=12$时取等号．结合图象知，对任意的$a>2$，$m$在集合$\left(0,x_a\right)$内，且$m\ne 1$，故满足条件的$m$的集合为$(0,1)\cup(1,9)$．

综上知$m\in(0,1)\cup(1,9)$．

注　对一般的抛物线的方程为\(y^2=2px(p>0)\)，也有对应的结论，当\(m\)的取值范围为\[\left(0,\dfrac p2\right )\cup\left(\dfrac p2,\dfrac {9p}{2}\right )\]时，对于点$M(m,0)$与抛物线上任意一点$A$，\(\angle FAM\)恒为锐角．