每日一题[413]双动点问题

已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，点$M(m,0)$在$x$轴的正半轴上，且不与点$F$重合，动点$A$在抛物线上，且不过点$O$．若$\angle FAM$恒为锐角，则$m$的取值范围为_____．

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正确答案是$(0,1)\cup (1,9)$．

解　这个问题中动点有两个：点$A$在抛物线上运动，点$M$在$x$轴正半轴上运动，运动过程中要求$\angle FAM$一直为锐角．

法一　设$A\left(\dfrac {a^2}{4},a\right )(a>0)$，$\angle FAM$恒为锐角只需要

$$\overrightarrow {AF}\cdot\overrightarrow {AM}>0$$ 对$x$轴正半轴上的$M$恒成立，即 $$\left(1-\dfrac {a^2}{4},-a\right )\cdot\left(m-\dfrac {a^2}{4},-a\right )>0,$$ 对$m>0$恒成立．化简有 $$a^4+4(3-m)a^2+16m>0$$ 对$a>0$恒成立，即函数$f(x)=x^2+4(3-m)x+16m$没有正零点，注意到$f(0)=16m>0$，所以 $$-2(3-m)\leqslant 0$$ 或 $$\begin{cases}-2(3-m)>0,\\ \Delta<0,\end{cases}$$ 解得$m<9$，又$m>0$且$m\ne 1$，所以 $$0<m<1\lor 1<m<9.$$ 我们先固定一个动点去考虑这个条件意味着什么？于是有下面的法二、法三（由meiyun提供）：

法二　让$M$点先固定，点$A$在抛物线上运动，且对线段$FM$的张角为锐角，这只需要点$A$在以线段$MF$为直径的圆外．故原题条件转化成抛物线与以$FM$为直径的圆没有公共点．

以$MF$为直径的圆的方程为

$$\left(x-m\right)(x-1)+y^2=0.$$ 联立圆和抛物线的方程消去$y$得 $$x^2+(3-m)x+m=0,$$ 此方程没有正实根，即函数$f(x)=x^2+(3-m)x+m$没有正零点，同法一得 $$0<m<1\lor 1<m<9.$$

法三　我们也可以固定抛物线上一点$A\left(\dfrac {a^2}{4},a\right )(a>0)$，考虑对于不同的$a$，满足$\angle FAM$为锐角时$m$的取值集合，再求交集，于是考虑边界情况$\angle FAM=90^\circ$时$M$的位置，如下图：

对$a$进行讨论，当$a=2$时，$\angle FAM$恒为锐角；

当$a\ne 2$时，过点$A$，且垂直于$FA$的直线方程为

$$y-a=-\dfrac {\frac{a^2}{4}-1}{a}\left(x-\dfrac {a^2}{4}\right ),$$ 令$y=0$得直线$MA$的横截距 $$\begin{split} x_a&=\dfrac {4a^2}{a^2-4}+\dfrac {a^2}{4}\\&=5+\dfrac{16}{a^2-4}+\dfrac{a^2-4}{4},\end{split}$$ 当$a<2$时，$a^2-4\in (-4,0)$，此时$x_a<0$，结合图象知，此时对任意的$m>0$，都有$\angle FAM$为锐角；

当$a>2$时，$x_a\geqslant 9$，当且仅当$a^2=12$时取等号．结合图象知，对任意的$a>2$，$m$在集合$\left(0,x_a\right)$内，且$m\ne 1$，故满足条件的$m$的集合为$(0,1)\cup(1,9)$．

综上知$m\in(0,1)\cup(1,9)$．

注　对一般的抛物线的方程为$y^2=2px(p>0)$，也有对应的结论，当$m$的取值范围为

$$\left(0,\dfrac p2\right )\cup\left(\dfrac p2,\dfrac {9p}{2}\right )$$ 时，对于点$M(m,0)$与抛物线上任意一点$A$，$\angle FAM$恒为锐角．