已知 $n$ 是正整数，集合 $M=\{x\mid 1\leqslant x\leqslant n,x\in\mathbb N^{\ast}\}$ 的元素和为奇数的非空子集的个数为_______．
答案 $2^{n-1}$．
解析
构造一 设\[f(x)=\prod_{k=1}^n\left(1+x^k\right)\]则题中所求非空子集的个数为 $f(x)$ 的展开式中 $x$ 的奇次项的系数之和，为\[\dfrac {f(1)-f(-1)}2=2^{n-1}.\]
构造二 记符合题意的非空子集组成集合 $P$，集合 $M$ 的所有子集组成集合 $N$，则集合 $P$ 与集合 $\complement_{N}P$，那么存在一一映射\[f:P\to \complement_{N}P,x\mapsto \begin{cases} x-\{1\},&1\in x,\\ x\cup\{1\},&1\notin x.\end{cases}\]因此\[{\rm Card}(P)={\rm Card}\left(\complement_{N}P\right)=\dfrac 12{\rm Card}(N)=2^{n-1}.\]